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肥皂泡上隐藏百年难破解数学问题,两学者休假时成功论证,被称里程碑式研究
发布日期:2022-11-14 19:02    点击次数:98

没想到,小小肥皂泡放到数学家手上,也能变成绵延几百年的大难题。

想象一下,吹出一个泡泡(假定体积不变),什么情况下它的表面积是最小的?

想必大部分人都会想到标准球体这个答案。

早在 2000 多年前,希腊数学家芝诺多鲁斯也断言一定如此。

巴特,众所周知只写答案不给分,重要的是论证过程。

结果这一论证就花费了上千年,直到 19 世纪末,数学家施瓦茨才证明出球的表面积比相同体积的任何其他物体都要小。

但这还只是单个泡泡啊,两个?三个?乃至更多呢?它们的最小表面积情况是怎样的?又该如何计算?

随着气泡数量增加,论证的复杂难度、牵扯出的数学知识都直线上升。

等论证出双气泡大小一致时总表面积最小,已经2002 年了。

2007 年,美国数学学会副会长弗兰克 · 摩根(Frank Morgan)推测,想要论证 3 个气泡的情况,恐怕要再等一百年了。

而就在最近,两位数学家利用去年休假的时间,把这事儿给搞定了!

通过论证数学家沙利文提出的猜想,伊曼纽尔 · 米尔曼(Emanuel Milman)和乔 · 尼曼(Joe Neeman)解决了 3、4 个气泡的问题,甚至还在研究更加复杂的情况。

研究一经报道迅速引起热议,Reddit 上热度超过800。

当年提出预测的弗兰克 · 摩根评价道,他们提出的是一种全新的方法,这是里程碑式的研究!

如何论证?

简单来说,这次突破是对此前一项猜想的论证。

柏林工业大学教授约翰 · 马修 · 沙利文(John Matthew Sullivan)在上世纪 90 年代提出,只要气泡数量比空间维度大 1 个,就会有一种特殊的最佳方式来包住这些气泡,这种方式下投射出的气泡阴影,将会对应表面积最小的情况。

按照沙利文提出的方法,作者在二维平面上创建了一个三气泡集群(这时的 " 气泡 " 不是立体物体)。

首先,在一个球体上选择四个点,它们之间的距离都是一样的。接下来以这些点为中心吹 4 个气泡,直到它们相互挤压、覆盖整个球体表面。

然后把这个球体放在一个无限平面上,假设它是透明的,在球体正上方设置一个点光源,这时四个气泡之间接触的表面,就会在平面上投射出影子。

影子形状即为 3 个在平面上的 " 气泡 "。点光源不变、旋转球体,影子形状还会发生变化。

结合此前研究,通过测量投影的数据,即可计算出气泡精确的表面积。

实际上在 2018 年时,米尔曼和尼曼便论证了沙利文猜想的一个类似版本。

当时他们把空间中的每个点视为是有价值的,原点是最贵的地方,离原点越远越便宜,由此形成一个钟形曲线。

假设在确定价格的情况下围着原点建围墙,要求成本最小化,由此来计算论证。

这项研究当年刊登在了数学领域顶刊《数学年鉴》上,并为解决计算机科学领域噪声敏感性问题提供了参考。

之后,他们开始了更为深入的探索,几年下来关于这一想法的笔记已经超过 200 页。

但进展并没有想象中的顺利,尝试的很多方向都失败了。

以至于最后,两个人是利用休假时间来搞定的项目——

毕竟假期是尝试高风险、高收益类型项目的好时机(doge)。

目前,米尔曼是以色列理工学院数学系教授,研究方向为分析几何。

尼曼是德克萨斯大学奥斯汀分校的助理教授,研究领域有概率、几何不等式、随机图等。

One More Thing

要说数学家研究吹泡泡这件事,其实由来已久,现在已经发展为一个严肃的研究方向。

这些研究的特点往往是:看起来简单、直觉上是对的,但是想要论证非常困难。

比利时物理学家普拉托在 1873 年出版了一本 450 页的著作《仅置于分子力之下的液体之静力学》,是泡泡研究中的经典之作。

以他名字命名的普拉托定律,也是很多泡泡研究的基础,该定律指出:

1、肥皂泡由光滑曲面组成;

2、肥皂泡的任一部分的平均曲率,在同一片膜上的每一点都是常数;

3、肥皂泡交界面一定是由三个表面相接构成的三条曲线,称为普拉托边界,交接两两表面形成的平面夹角都是 120 度;

4、普拉托边界相交一定是由 4 条边界相交构成一个交点,在交点处,四个边界线两两之间的夹角都相同,等于 109.47 度。

如果肥皂泡的构成不符合这一定律,它便是不稳定的,很快会破裂或者慢慢变化为符合普拉托定律的结构。

而如果想要用数学方法论证这些定律,需要掌握的知识有微分几何、几何测度论等……

虽然直观来看,这些证明貌似然并卵,但实际上它对于理解数学、物理、探索最优化问题,都有很大启示意义。

参考链接:

[ 1 ] https://www.quantamagazine.org/monumental-math-proof-solves-triple-bubble-problem-and-more-20221006/

[ 2 ] https://www.reddit.com/r/math/comments/xxad0l/monumental_math_proof_solves_triple_bubble/